Algèbre de Boole

Historique

Georges Boole (1818-1864) met au point l'algèbre de Boole, basée sur l'utilisation du système binaire. Il démontre que tout processus logique peut être décomposé en une suite d’opérations logiques (et, ou, non) appliquées sur deux états (zéro-un, oui-non, vrai-faux, ouvert-fermé).

Opérateurs binaires ET, OU et NON (AND,OR,NOT)

• Les opérateurs ET, OU sont des opérateurs à deux arguments (on dit aussi opérandes).
• L'opérateur NON est un opérateur à un seul argument.

Ces opérateurs sont parfaitement définis par leur table de vérité :

table du ET	table du OU	table du NON

On peut aussi présenter les tables du ET, OU de la façon suivante :

def , if , else , == , return

#Code à copier dans votre éditeur et à compléter
def op_ET(a,b):


#Jeu d'essai
print("op_ET : pass test1 --> ",op_ET(0,0)==0)
print("op_ET : pass test2 --> ",op_ET(0,1)==0)
print("op_ET : pass test3 --> ",op_ET(1,0)==0)
print("op_ET : pass test4 --> ",op_ET(1,1)==1)

#Code à copier dans votre éditeur et à compléter
def op_OU(a,b):
		

#Jeu d'essai
print("op_OU : pass test1 --> ",op_OU(0,0)==0)
print("op_OU : pass test2 --> ",op_OU(0,1)==1)
print("op_OU : pass test3 --> ",op_OU(1,0)==1)
print("op_OU : pass test4 --> ",op_OU(1,1)==1)

Opérateur binaire OU Exclusif (XOR)

Même s'il peut être défini à partir du ET et du OU l'opérateur XOU est à connaître car utiliser souvent.

table du OU Exclusif

Voyons comment XOR peut-être défini à partir de ET,OU,NON.

• On peut remarquer que le Ou exclusif est presque comme le OU sauf qu'il est faux quand A ET B sont Vrais.
• Ce qui donne : (A OU B) ET (NON (A ET B))

En voici la démonstration via la table de vérité correspondante :

Trouver l'expression booléenne correspondant à une table de vérité donnée.

On peut assez facilement associer une expression booléenne à une table de vérité donnée.

Soit le nouvel opérateur op définit par sa table de vérité :

L'expression booléenne correspondant à notre nouvel opérateur est donc : op(a,b) = [(NON a) ET b] OU (a ET b).

A noter que l'algèbre binaire permetrait, comme on le fait en algèbre classique, de simplifier quand cela est possible une expression booléenne.

Pour aller plus loin :