boolean Algèbre de Boole


Historique

Georges Boole (1818-1864) met au point l'algèbre de Boole, basée sur l'utilisation du système binaire. Il démontre que tout processus logique peut être décomposé en une suite d’opérations logiques (et, ou, non) appliquées sur deux états (zéro-un, oui-non, vrai-faux, ouvert-fermé).


Opérateurs binaires ET, OU et NON (AND,OR,NOT)

Ces opérateurs sont parfaitement définis par leur table de vérité :

table du ETtable du OUtable du NON
table ETtable OUtable NON

On peut aussi présenter les tables du ET, OU de la façon suivante :

table ETtable OU

En utilisant exclusivement le "matériel" Python suivant :
def , if , else , == , return
Ecrire 2 fonctions op_ET(a,b) , op_OU(a,b) permettant de retourner respectivement le résultat de (a ET b) et de (a OU b).
#Code à copier dans votre éditeur et à compléter
def op_ET(a,b):


#Jeu d'essai
print("op_ET : pass test1 --> ",op_ET(0,0)==0)
print("op_ET : pass test2 --> ",op_ET(0,1)==0)
print("op_ET : pass test3 --> ",op_ET(1,0)==0)
print("op_ET : pass test4 --> ",op_ET(1,1)==1)
#Code à copier dans votre éditeur et à compléter
def op_OU(a,b):
		

#Jeu d'essai
print("op_OU : pass test1 --> ",op_OU(0,0)==0)
print("op_OU : pass test2 --> ",op_OU(0,1)==1)
print("op_OU : pass test3 --> ",op_OU(1,0)==1)
print("op_OU : pass test4 --> ",op_OU(1,1)==1)

Opérateur binaire OU Exclusif (XOR)

Même s'il peut être défini à partir du ET et du OU l'opérateur XOU est à conaître car utiliser souvent.

table du OU Exclusif
table XOU

Voyons comment XOR peut-être défini à partir de ET,OU,NON.

En voici la démonstration via la table de vérité correspondante :

table XOR

En fait on peut facilement associer une expression binaire à une table de vérité donnée.

Soit le nouvel opérateur op définit par sa table de vérité :

abOpexpression
000-
011(NON a) ET b
100-
111a ET b

L'expression booléenne correspondant à notre nouvel opérateur est donc : op(a,b) = [(NON a) ET b] OU (a ET b).

A noter que l'algèbre binaire permet, comme on le fait en algèbre classique, de simplifier quand cela est possible une expression binaire.


Pour aller plus loin :

  1. open classroom.
  2. wikipedia.