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Binaire & Nombres Entiers Naturels

warning  Cet algorithme peut être mis en oeuvre au travers de l'activité Basic Machine.


Les ordinateurs codent l’information sous forme binaire. Nous allons voir ici, que ce code binaire correspond à un système de numération à base 2. Ce point est important car il va permettre à l’ordinateur de faire des calculs sur l’information pour la traiter et la transformer.

La numération :

Dans toute numération, il faut distinguer chiffres et nombres.

I-Numération décimale :

Dans la vie courante, nous pratiquons la numération décimale …reposant à l’origine sur nos dix doigts : les dix symboles 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (chiffres) permettent de représenter tous les nombres. (Base 10) La position des chiffres est primordiale dans cette représentation (numération de position) : il y a quelques années déjà, vous avez appris ce qu’étaient les unités (colonne de droite), les dizaines, les centaines, etc

On peut généraliser cette définition à une numération à base n :

La place du chiffre dans le nombre a une signification. Il détermine la valeur ou le poids du chiffre.

Exemple : Décomposition du nombre 3256 :

Chaque position a un poids fixe : 100 pour le rang 0 soit un poids de 1, 101 pour le rang 1 soit un poids de 10, 102 pour le rang 2 soit un poids de 100… C’est un code pondéré.

Ecrire une égalité semblable à celle donnée pour 3256 avec les puissances de 10 pour les nombres 2134 et 805.

II. La base 2 : le binaire

En base 2, pour représenter les nombres on utilise que 2 chiffres : 0 et 1 appelés bit ( binary digit).

Exemple : 1001

Chaque bit correspond à une puissance de 2, le plus à droite correspond à 2^0 , puis les exposants augmentent de 1 en remontant de la droite vers la gauche.

Correspondance entre binaire et décimal :

Pour ne pas confondre les écritures, on écrira 1012 pour un nombre en base 2 et 101 pour un nombre en base 10.

a. Conversion d’un nombre binaire en base 10 :

Conversion binaire vers décimal

b. Conversion d’un nombre entier naturel en base 2 :

On effectue des divisions euclidiennes par 2, successives, et on s’arrête lorsque le quotient devient nul.

230 s’écrie donc en binaire 111001102

Conversion décimal vers binaire

On peut aussi décomposer le nombre décimal à l’aide des puissances de 2 : 1, 2 ,4, 8, 16 , 32 , 64 , 128, 256

Convertissons 230 : 256 est plus grand que 230 donc on commence à 128

230 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 27+ 26+ 25+ 22+ 21= 1110 0110

Pour terminer

Exercices :

  1. Convertir en base 10 les nombres suivants : 111111112 ; 100101102
  2. Que se passe-t-il si on rajoute un 0 à droite d’un nombre binaire ?
  3. Convertir en base 2 les nombres suivants 31 ; 109 ; 128 ; 253 ; 1000

A consulter :

  1. Informatique Lycée